Disclaimer: acesta este un guest post scris de soț.

Încerc să scriu lucruri pe care le consider interesante pentru copii aproximativ de vârsta Anei -- de obicei un pic mai mari, fiindcă încerc să prevăd ce mă așteaptă. Așadar, oarecum în continuarea articolului anterior despre etimologii, astăzi vreau să vă reamintesc -- și poate să vă spun și câteva lucruri noi -- despre numere. Știu, subiectul pare foarte arid, dar vă rog răbdați un pic cu mine; promit că nu va fi deosebit de dureros.

Primele tipuri de numere pe care le învățăm cu toții sunt numerele naturale. Numerele naturale sunt numerele întregi strict pozitive (1, 2, 3, ...). Strict pozitiv înseamnă că nu există nicio ambiguitate în privința "pozitivității" fiecăruia dintre numere; numărul zero nu este inclus între numerele naturale, pentru că nu este nici pozitiv, nici negativ: este ambiguu, iar numerele naturale nu se încurcă cu ambiguități de felul ăsta (voi reveni la finalul articolului la acest detaliu). Dar de ce le zicem tocmai numere naturale? Ce înțeles anume trebuie să extragem din acest nume?

Conceptul este foarte simplu și foarte intuitiv: numerele naturale sunt numerele pe care le folosim în mod natural atunci când numărăm: o vacă, două vaci, N vaci; un copac, doi copaci, N copaci. Un pui de vacă este un vițel; un pui de pom este un puiet -- nu numărăm niciodată două vaci și jumătate, trei pomi și-un sfert sau minus trei viței: ar fi nenatural. În paranteză fie spus, tot numerele naturale sunt folosite și pentru cardinalitate (primul copil, al doilea copil etc; niciodată al minus unulea copil, al zeroulea copil sau al trei sfertulea copil).

Singura trăsătură remarcabilă a numerelor întregi este faptul că au cel mai plictisitor nume dintre toate: acestea sunt pur și simplu toate numerele întregi -- pozitive și negative, plus zero sărmanul. Deloc remarcabil, dar aveau și ele nevoie de un nume; măcar au unul rezonabil.

Pe de altă parte, o vacă mănâncă trei baloți de fân pe săptămână (nici mai mult și nici mai puțin). Cu alte cuvinte, rația unei vaci este de trei șeptimi de balot pe zi. Acesta este înțelesul conceptului de număr rațional: rație în sensul de proporție, nu în sensul de rațiune. Mai exact, numerele raționale sunt numerele care pot fi reprezentate printr-o fracție a oricăror două numere întregi (cu unica restricție că n-avem voie să împărțim la zero).

Un mic popas etimologic. Cuvântul rațional are în mod evident două sensuri foarte diferite: un om rațional n-are nimic în comun cu un număr rațional. Cele două sensuri au ajuns la o formă comună din două cuvinte diferite (rație și rațiune), dar aceste două cuvinte diferite în română provin amândouă dintr-un singur cuvânt: latinescul ratio, care înseamnă atât gând cât și calcul.

Prin contrast față de numerele raționale, numerele iraționale sunt numerele "celelalte", cele care nu pot fi exprimate prin proporții (π, radicali din numere care nu sunt pătrate exacte și multe altele). Poate surprinzător, mulțimea numerelor iraționale este mult, mult mai mare decât mulțimea numerelor raționale, deși amândouă sunt infinite; pentru detalii vezi conceptul matematic de cardinalitate.

Numerele iraționale au proprietatea că nu pot fi reprezentate complet în formă numerică -- au un număr infinit de zecimale care nu se repetă periodic. Dacă vă gândiți un pic la asta, un șir infinit de cifre care nu se repetă în mod periodic trebuie musai să conțină toate combinațiile posibile de cifre. Toate! Dacă alocăm fiecărei perechi de două cifre câte o literă (e.g. 01=A, 02=B șamd) atunci înseamnă că pe undeva prin zecimalele oricărui număr irațional se găsește povestea exactă și completă a vieții dumneavoastră, de când v-ați născut și până veți muri. Nu numai asta, dar găsiți acolo și toate variantele posibile ale vieții dumneavoastră ("ce s-ar fi întâmplat dacă nu intram la facultate, dacă nu-l cunoșteam pe George, dacă nu mergeam la mare în '97, dacă nu pica Ceaușescu"). Și e și povestea vieții mele. Și operele complete ale lui Shakespeare. Și ale lui Ponta. Ați prins ideea. Toate poveștile care s-au scris sau se vor scrie vreodată, în oricare dintre numerele iraționale. Evident, problema este că nu știm unde anume.

Numerele reale sunt iarăși oarecum plictisitoare: acestea sunt pur și simplu toate numerele de mai sus -- naturale, întregi, raționale, iraționale, toate la grămadă. (Dacă m-am exprimat suficient de clar și nu v-am plictisit excesiv veți fi observat că unele mulțimi de mai sus le includ pe altele, așa că numerele reale sunt de fapt doar cele raționale plus cele iraționale, fiindcă restul se suprapun.)

Din punct de vedere etimologic, conceptul de număr real este echivalent unei valori care poate fi reprezentată (chiar și doar în mod ideal) prin dimensiunea unei forme geometrice reale, fizice. De pildă circumferința unui cerc cu diametrul de cinci centimetri va fi un număr irațional (5π cm), dar atât diametrul cât și circumferința cercului sunt numere reale.

Mai departe ar veni numerele complexe, dar le lăsăm pentru ora viitoare, că mai e un pic și se sună de ieșire. Foarte pe scurt, numerele complexe sunt în esență formate din două numere reale, cu mențiunea că de cel de-al doilea facem mișto și-i spunem c-ar fi imaginar (și nu real, ca fra-su), pentru simplul motiv că-l înmulțim cu numărul magic i (de la imaginar, în caz că nu v-ați prins). Acest i magic este radicalul de ordinul doi din -1, "care nu se poate" -- așa că matematicienii au zis "hai să ne imaginăm că s-ar putea și să-i spunem i". Ce este uimitor la numerele complexe este faptul că deși par un concept chinuit, artificial și tras de păr, în realitate acestea funționează foarte firesc în angrenajul matematic; ba mai mult, numerele complexe au fost prima punte care a reunit din nou algebra cu geometria, după două mii de ani de când se separaseră. Gata, închei aici cu numerele complexe, că văd cum vă uitați la ceas.

Revin un pic la numerele naturale. Mai devreme sau mai târziu, copilul dumneavoastră (se) va întreba de ce mulțimea numerelor naturale este singura mulțime formală care nu-l conține pe zero -- toate celelalte îl includ, cu unica excepție (oarecum artificială) a numerelor iraționale. Când am vorbit despre numere naturale am zis că acestea sunt numerele pe care le folosim în mod firesc atunci când numărăm chestii. Dar nu trebuie să ne întrebăm doar ce numărăm în mod natural, ci și când ne apucăm de obicei să numărăm. V-a trecut vreodată prin cap să numărați morcovii de pe tavan? Sau fantomele din poșetă? Dacă ați fi făcut asta ați fi numărat "până la" zero. Problema este că în realitate nu începem niciodată numărătoarea de la zero: când ați numărat împreună cu copilul ați început vreodată cu "zero ursuleți", arătând către partea albă a foii unde nu era desenat nimic? Nimeni nu face asta, copilul n-ar înțelege nimic.

Conceptul de zero este atât de nefiresc atunci când numărăm lucruri fizice încât a durat mii de ani de la inventarea numerelor naturale până la acceptarea lui zero ca număr de sine stătător. Științele și matematicile se vindecă retroactiv, așa că au rămas puține semne încă vizibile ale acestei repulsii istorice față de numărul zero. Ne-a rămas însă o cicatrice colectivă care ne reamintește despre ura pe care i-am purtat-o bietului zero: felul în care numărăm anii. De la anul 1 î.e.n. sărim direct la anul 1 e.n. -- anul zero nu există. Rezultatul este că nu putem face calcule aritmetice simple cu intervale de timp care includ cumpăna dintre cele două ere: copiii născuți în anul 3 î.e.n. aveau în anul 3 e.n. vârsta de... cinci ani (numărați pe degete).

Pentru mai multe detalii despre războiul pe care l-am purtat de-a lungul istoriei împotriva numărului zero, război folosit ca pretext pentru o fascinantă istorie a numerelor din antichitate și până astăzi, vă recomand cu mare căldură cartea Zero: biografia unei idei periculoase (cu speranța că se mai editează; dacă nu, o găsiți cu siguranță prin anticariate online sau offline).